곡선 길이 공식 L=\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}dx를 사용한다.

1. y' 및 정리:

y'=\dfrac{-2x}{1-x^{2}}. 1+(y')^{2}=1+\left(\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2}

2. 적분:

L = \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} { \dfrac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}} } \, dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( -1 + \dfrac{2}{1 - x^{2}}\right) dx

3. 부분 분수:

\dfrac{2}{1-x^{2}}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}

4. 계산:

\displaystyle L = \left[ -x - \ln|1 - x| + \ln|1 + x| \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ -x + \ln \left| \dfrac{1 + x}{1 - x} \right| \right]_{0}^{\frac{1}{2}}

L=\left(-\dfrac{1}{2}+\ln \left|\dfrac{1.5}{0.5}\right|\right)-(0+\ln 1)= -\dfrac{1}{2}+\ln 3 = \ln 3 - \dfrac{1}{2}