기체의 운동론

1. 이상 기체의 분자 모형 및 미시적 속성

이상 기체 모형은 기체의 압력과 온도를 분자의 속력 및 운동 에너지와 연관시킨다.

개념

설명 및 정의

수학적 관계식 (거시 ↔ 미시)

압력과 평균 운동 에너지

기체의 압력(P)은 단위 부피당 분자 수(N/V)와 분자의 평균 병진 운동 에너지에 비례한다.

\mathbf{P = \frac{2}{3} \left(\frac{N}{V}\right) \left(\frac{1}{2} m_0 \overline{v^2}\right)}

온도의 미시적 정의

절대 온도(T)는 분자의 평균 병진 운동 에너지에 직접 비례하는 척도이다.

\mathbf{\frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_{\text{B}} T}

이상 기체 내부 에너지 (\mathbf{E_{\text{int}}})

단원자 이상 기체의 내부 에너지는 분자의 병진 운동 에너지만으로 구성되며, 온도(T)만의 함수이다.

\mathbf{E_{\text{int}} = \frac{3}{2} n R T}

에너지 등분배 정리

평형 상태에서 분자의 각 자유도(Degree of Freedom)는 평균적으로 \mathbf{\frac{1}{2} k_{\text{B}} T} 만큼의 에너지를 균등하게 갖는다.

\mathbf{\frac{1}{2} m_0 \overline{v_x^2} = \frac{1}{2} k_{\text{B}} T}

제곱-평균-제곱근 속력 (\mathbf{v_{\text{rms}}})

분자 속력 분포의 척도로, 온도가 높거나(T) 질량이 작을수록(m_0) 속력이 빠르다.

\mathbf{v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}}

2. 이상 기체의 몰비열과 자유도

기체의 몰비열은 분자의 구조(자유도)에 따라 달라지며, 등압 몰비열(C_P)은 항상 등적 몰비열(C_V)보다 기체 상수(R)만큼 크다.

기체 유형

자유도 (f)

등적 몰비열 (CV​)

등압 몰비열 (CP​)

비열비 (γ=CP​/CV​)

단원자 (He, Ne, Ar)

3 (병진)

\mathbf{\frac{3}{2} R}

\mathbf{\frac{5}{2} R}

\mathbf{\frac{5}{3}} \approx 1.67

이원자 (무시 진동)

5 (3병진 + 2회전)

\mathbf{\frac{5}{2} R}

\mathbf{\frac{7}{2} R}

\mathbf{\frac{7}{5}} = 1.40

  • 몰비열 관계식:\mathbf{C_{\text{P}} - C_{\text{V}} = R}.

  • 내부 에너지 변화: 모든 과정에서 \mathbf{\Delta E_{\text{int}} = n C_{\text{V}} \Delta T}.

3. 기체 분자의 속력 분포 및 과정

맥스웰-볼츠만 속력 분포

기체 분자의 속력은 맥스웰-볼츠만 분포 함수를 따르며, 온도가 높아질수록 분포 곡선이 오른쪽(더 빠른 속력)으로 이동하고 넓어진다.

  • 속력의 크기 관계: \mathbf{v_{\text{rms}} > v_{\text{avg}} > v_{\text{mp}}} (제곱근 평균 제곱 속력 > 평균 속력 > 최빈 속력).

단열 과정 (Adiabatic Process)

계와 주위 환경 사이에 열 전달($Q=0$)이 없는 과정으로, 압력, 부피, 온도가 모두 변한다.

  • P-V 관계: \mathbf{P V^\gamma = \text{일정}}.

  • T-V 관계: \mathbf{T V^{\gamma-1} = \text{일정}}.

  • 결과: 단열 팽창(부피 증가) 시 온도는 감소하고, 단열 압축 시 온도는 상승한다.

증발 및 냉각

  • 증발 (Evaporation): 액체 표면에서 운동 에너지가 큰 분자들이 이탈하여 증기 상태가 되므로, 액체 상태로 남은 분자들의 평균 운동 에너지가 낮아져 액체의 온도가 낮아진다 (냉각 효과). (이것이 젖은 손가락이 차게 느껴지는 이유이다.)

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