유한요소해석(FEM)에 대해 설명해보세요.

[유한요소해석을 왜 사용하는가?]

단순한 형상의 구조물에 대해서, 임의의 하중을 주었을 때, 응력이나 변위가 어느 정도 될 것인지는 쉽게 알 수 있다. 하지만 실제 구조물에서는 단순한 형상을 나타내지 않고, 복잡한 형상을 나타내며 적용되는 하중도 천차만별이다. 이러한 문제를 해결하기 위해 유한요소 해석이 필요하다.

유한요소해석은 실제 물체를 유한개의 요소(간단한 형상의)로 나누어 계산을 수행하는 것이다. 복잡한 형상을 통째로 계산 수행하기 어렵기 때문에, 우리가 아는 공식을 적용할 수 있는 단순한 모델로 잘게 쪼개서 계산을 수행하는 것이다.

F=kx라는 스프링 공식을 아는가? 스프링 강성 k를 가진 스프링이 외력 F를 주었을 때, x만큼 늘어난다는 내용이다. 이 스프링 공식을 통해 전체 모델을 잘게 쪼개고, 각각 쪼개진 요소를 스프링으로 표시하는 게 유한요소해석의 기본이다. 몇 개로 쪼개냐? 그 스프링 마다 간격은 어떻게 되느냐? 를 통해 각 스프링의 강성이 표시되는 것이다.

전체 강성 행렬 k는 각 절점의 변형행렬 (x)와 각 절점에 작용하는 하중행렬 (F)로 표시할 수 있다. 여기에서 물체의 형상과 특성에 따라 강성 행렬 K를 구할 수 있고, 사용자가 설정한 하중 및 경계조건을 통해 F를 구할 수 있다. 그리고 x=K^{-1}F을 통해 각 절점의 변위를 구할 수 있다.

[유한요소해석의 역사]

유한요소해석은 1943년에 리햐르트 쿠랑이 Ritz method를 사용하여 진동시스템의 근사해를 시스템 범함수의 변분원리(variational calculus)를 이용해 수치해석 하는 방법을 제안하여 시작되었다. 얼마 뒤 1956년에 논문을 출간함으로써 수치해석의 새로운 정의를 성립하였다. 구조역학에서의 유한요소해석은 가상 힘이나 총 에너지 보존법칙과 같은 에너지 원리에 기초를 두고 있다.

[유한요소해석의 응용]

응용을 위해서 대상물이나 시스템(계)는 개별화되고 서로 연결된 다수의 유한요소로써 실물과 유사한 모델로 표현되어야 한다. 등가방정식이 각 요소에 적용되어 전체적인 시스템에서 동시적인 방정식이 성립될 것이다. 선형대수나 비선형 수치해석과 같은 방법을 사용하여 방정식을 해결하여 근사값을 얻을 수 있다. 근사 값을 얻는 방법을 사용하기 때문에 FEA의 결과치는 메쉬 다듬기를 통해서 정확도를 향상시킬 수 있다.

FEA의 일반적인 용도는 기계적 대상물이나 시스템에서 응력과 변위를 결정하는 데 있다. 그러나 열전달, 유체역학, 전자기학 등에도 사용될 수 있으며 FEA는 닫힌 형태의 분석이라면 복잡한 시스템의 해법도 결정할 수 있다. 실제 공학에서의 응용은 컴퓨터를 이용해 모델링하고, 이에 필요한 물성과 하중과 같은 외부적인 요인들을 설정하고 시각화 된 결과를 얻는다.

현재 대표적인 상용 FEA 소프트웨어로는 ANSYS, Abaqus(Dassault Systèmes), Nastran(Siemens Simcenter Nastran, MSC Nastran 등), COMSOL Multiphysics, HyperWorks(Altair) 등이 있다. 최근에는 클라우드 기반 FEA 플랫폼이 등장하여 고성능 컴퓨팅(HPC) 자원을 활용한 대규모 해석이 용이해졌다.

또한 인공지능(AI)과 머신러닝이 FEA 분야에 접목되고 있다. 서로게이트 모델(surrogate model)을 활용하여 수천 회의 반복 해석을 수 초 내에 예측하거나, 토폴로지 최적화(topology optimization)에 딥러닝을 결합하여 최적 구조를 자동으로 도출하는 연구가 활발하다. NVIDIA의 PhysicsNeMo(구 Modulus)와 같은 물리정보 신경망(PINN, Physics-Informed Neural Network) 프레임워크는 편미분방정식의 해를 신경망으로 근사하여 실시간 해석에 근접하는 속도를 구현하고 있다.

[유한요소해석의 과정]

일반적으로 CAE작업은 3개의 순서로 구성된다.

(1) Pre-processing

FEA에 있어서 첫 번째 단계는 분석될 구조의 유한요소 모델링을 하는 것이다. 대부분의 FEA패키지에서는 구조의 기하학적 특징을 위상학을 사용하여 표시한다. 1D, 2D, 3D형태로 표현되면 각각 선, 형상, 표면으로 표현된다. 최근에는 3D 모델링 방법이 주가 되는 추세이다.

모델링의 가장 중요한 목적은 실제의 모델을 어떻게 하면 더 잘 표현할 수 있는가에 있다. 현재에는 대부분 CAD작업을 통해 제품설계를 하므로 유한요소 모델링을 위해 설계데이터를 활용하는 것이 일반적이며, 대다수의 프로그램은 CAD데이터를 변환하여 유한요소 모델을 자동으로 생성하는 기능을 지원하고 있다. 개략적인 유한요소가 생성되면 하나의 유한요소를 이루는 부분으로 크게 3개로 구분할 수 있다.

하나의 격자를 메쉬라고 하며 메쉬의 꼭지점을 이루는 점을 노드라하고 노드로 연결된 메쉬의 영역을 요소라고 한다. 각각 영문으로는 Mesh, Node, Element로 표기한다.

(2) Analysis

FEA의 두 번째 단계는 해석이다. 모델링데이터가 정확하고 입력 값이 정확하면 결과는 올바르게 도출될 것이다. 계산은 컴퓨터가 실시하므로 사용자는 자신이 보고자 원하는 값을 정확히 설정할 필요가 있다.

(3) Post-processing

해석결과는 주로 FEA프로그램 내에서 확인이 가능하며 수치적나 그래프(색상지도)로 표현한다.