[전달함수(Transfer function)]
전달함수란 입력 신호로 출력 신호를 나눈 것이며 크기와 위상을 가지고 있다. 라플라스 변환시킨 것은 계산을 간단히 하기 위해서이다.
선형 시 불변 시스템의 전달함수는 모든 초기 조건들이 “영”이라는 가정하에서 출력의 Laplace 변환식과 입력의 Laplace 변환식의 비로, 식으로 나타내면 아래와 같다.
T(s) = \cfrac{C(s)}{R(s)}
여기서 R(S)는 입력의 Laplace Transform, Y(S)는 출력의 Laplace Transform 이다.
\text{전달 함수} = \cfrac{\text{라플라스 변환시킨 출력}}{\text{라플라스 변환시킨 입력}} \text{전달 함수 } G(s) = \cfrac{V_0(s)}{V_i(s)} \text{주파수 전달 함수 } G(j\omega) = \cfrac{V_0(j\omega)}{V_i(j\omega)} V_0(j\omega) : 출력 신호 전압, V_i(j\omega) : 입력 신호 전압 V_0(s), V_i(s) : 각각 라플라스 변환시킨 출력 전압과 입력 전압 S : 라플라스 연산자 |
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[전달함수 예제]
[문제]
다음에 대하여 전달함수와 상태방정식을 구하여라.
\cfrac{d^3 x(t)}{dt^3} + 5 \cfrac{d^2 x(t)}{dt^2} + 6 \cfrac{dx(t)}{dt} + 10x(t) = r(t)
[풀이]
\mathcal{L{x(t)}} = X(s), L{r(t)}=R(s) 라 두면, (여기서 \mathcal{L\{\}}은 라플라스 연산을 의미)
미분방정식은 다음과 같이 라플라스 변환이 된다.
{ s^3 + 5\times s^2 + 6\times s + 10} X(s) = R(s)
전달함수를 G(s)라 두면 G(s) = \cfrac{X(s)}{R(s)}
G(s) = \cfrac{1}{(s^3 + 5\times s^2 + 6\times s + 10)}
x1(t) = x(t)라 두면
상태방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
x1'(t) = \cfrac{dx1(t)}{dt} = x2(t)
x2'(t) = \cfrac{dx2(t)}{dt} = x3(t)
x3'(t) = \cfrac{dx3(t)}{dt} = -5\times x3(t) - 6\times x2(t) -10\times x1(t) + r(t)
이것을 행렬형태로 나타내면
x'(t) = A x(t) + Br(t)
A = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ -10&-6&-5\end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix} 가 된다.
[전달함수의 표현]
전달함수란 제어계 또는 요소의 입력 변수와 출력 변수의 관계를 수식적으로 표현한 것으로 보통 전달함수(transfer function)가 사용된다. 전달함수는 라플라스 변환에 의해서 정의되는데, 전달요소의 입력신호를 r(t), 출력신호를 c(t)의 초기 값을 0으로 하였을 때의 라플라스 변환을 각각 R(s), C(s)로 하고, 그 입·출력 신호의 비 \cfrac{C(s)}{R(s)}를 G(s)로 표시하여 G(s)를 전달함수라고 한다.
수식으로 표시하면 모든 입력 신호 r(t)에 대하여 출력 신호 c(t)를 발생하는 전달 요소의 전달함수 앞의 전달함수식과 같이 정의한다.
전달함수 G(s)는
G(s) = \cfrac{(출력의\ 라플라스\ 변환)}{(입력의\ 라플라스\ 변환)}
= \cfrac{\mathcal{L}[c(t) output]}{\mathcal{L}[r(t) intput]} = \cfrac{C(s)}{R(s)} ---------(3-30)
┌────────────┐ c(t)
입력 ────────→│ 전달함수 │───→ 출력
R(s) └────────────┘ C(s)
▲ 선형계 블록선도
[전달함수의 성질]
전달함수는 다음과 같은 특성을 갖고 있다.
(1) 전달함수는 선형 제어계에서만 정의된다.
(2) 전달함수는 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 정의되며, 제어계의 입력 및 출력 함수의 라플라스 변환에 대한 비가 된다.
(3) 전달함수를 구할 때 제어계의 모든 초기 조건을 0으로 하므로 정상 상태의 주파수 응답을 나타내며 과도 응답 특성은 알 수 없다.
(4) 전달함수는 제어계의 입력과는 관계없다.