Fick’s law란 열역학에서 확산을 물리적으로 설명하기 위해 유도된 식으로 농도차(\cfrac{dn}{dx})에 따른 확산 flux를 예상하는 법칙이다. Fick’s law는 1과 2법칙이 있는데, 1법칙은 입자의 확산유량과 농도의 변화량을 나타낸 법칙이고, 2법칙은 연속적으로 확산이 일어날 때 확산이 어떻게 일어날지 기술한 미분방정식이다.
1법칙을 수식으로 표현하면 J_x = -D \cfrac{\partial n}{\partial x} 로 나타내어지며, 확산량 J는 농도차(\cfrac{dn}{dx})에 비례하고 물질에 따라 다른 확산상수(D) 값을 갖는다.
2법칙을 수식으로 표현하면 \cfrac{\partial n}{\partial t} = D \cfrac{\partial^2 n}{\partial x^2} 이다. 즉, 농도의 시간 변화량은 농도의 위치에 따른 변화량의 2차미분에 비례하며 비례상수는 확산계수 D이다. 만약 농도가 시간에 따라 변하지 않는다면 좌변을 0으로 놓을 수 있고 농도와 거리에 대한 관계식을 구할 수 있다.
해설 및 핵심용어정리
Fick의 제1법칙: 입자의 확산유량과 입자의 농도의 변화량과의 관계를 기술한 법칙. 계의 부피가 일정하다는 조건 하에서 직교좌표계에서 x축으로 입자가 확산될 때, 두 물리량의 관계는 다음과 같다.
J_x = -D \cfrac{\partial n}{\partial x}
J_x : 입자의 확산 유량의 x축 방향 성분
n : 입자의 농도
D : 확산상수, 두 물리량의 비례 정도를 결정 지어주는 상수
이를 더 높은 차원으로 확장하면, 미분연산자(\cfrac{\partial n}{\partial x})가 그라디언트(\nabla)로 바뀐다.
J = -D \nabla n
J : 입자의 확산유량
Fick의 제2법칙: Fick의 제1법칙에서 파생되어 나온 법칙으로, 연속적으로 확산이 일어날 때, 확산이 어떻게 일어날지를 기술한 미분방정식.
\cfrac{\partial n}{\partial t} = D \cfrac{\partial^2 n}{\partial x^2}
n : 입자의 농도
D : 확산상수
이 또한 다차원으로 일반화를 시키면 2차미분연산자가 라플라스 연산자로 바뀐다.
\cfrac{\partial n}{\partial t} = D \nabla^2 n
위와 같은 형태를 갖는 방정식을 열방정식이라 한다.
만약 확산상수가 상수가 아니라면, Fick의 제2법칙은 아래와 같은 형태로 나타난다.
\cfrac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (D \nabla n)