(1) E=3K(1-2V) 증명
종탄성계수는 E, 횡탄성계수는 G, 체적탄성계수는 K로 표현된다.
관계식은 E=2G(1+ν)=3K(1-2ν)으로 표현될 수 있으며 여기서 \nu는 프아송 비이다.
그럼 E=3K(1-2ν) 증명부터 증명해보기로 하자.
단위체적의 육면체가 응력 \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z을 받았을 때 다음과 같은 체적의 수직 평행 육면체로 변형한다.
v = (1 + \varepsilon_x)(1 + \varepsilon_y)(1 + \varepsilon_z) (v\text{는 부피})
변형률 \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z는 단위 길이보다 훨씬 작으므로, 그들 상호간의 곱은 더욱 작아 계산 과정에서 무시될 수 있어 다음과 같이 나타낼 수 있다.
v = 1 + \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z
e = v - 1 = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z
![그림입니다.]()
다축 하중에서의 변형률 성분은 다음과 같다.
\varepsilon_x = \cfrac{\sigma_x}{E} - \cfrac{\nu \sigma_y}{E} - \cfrac{\nu \sigma_z}{E}
![그림입니다.]()
\varepsilon_y = - \cfrac{\nu \sigma_x}{E} + \cfrac{\sigma_y}{E} - \cfrac{\nu \sigma_z}{E}
\varepsilon_z = - \cfrac{\nu \sigma_x}{E} - \cfrac{\nu \sigma_y}{E} + \cfrac{\sigma_z}{E}
위 식을 대입하면 팽창률 e = - \cfrac{1 - 2\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = - \cfrac{3(1 - 2\nu)}{E} p 로 표현된다.
\because \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = 3p
(\nu는 프아송 비(Poisson’s ratio)이며 \nu = - \cfrac{\text{가로 방향 변형률}}{\text{세로 방향 변형률}} = - \cfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} = - \cfrac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x})
물체가 균일한 정수압 p를 받았을 때 체적탄성계수 혹은 압축계수 K는 다음과 같이 정의된다.
따라서 e = - \cfrac{3(1 - 2\nu)}{E} p를 K = -\cfrac{p}{e}에 대입하면
K = \cfrac{E}{3(1 - 2\nu)}
∴E = 3K(1-2ν)이다.
(2) E=2G(1+ν) 증명
가느다란 봉이 x축 방향 인장 하중을 받을 때, 하중의 축과 45도의 각도의 평면에서 전단응력 값이 최대값이 되고 전단변형률 또한 훅의 법칙으로부터 최대값이 된다. 따라서 45도의 평면에서 전단 변형률은 최대전단변형률 \gamma_m과 같다.
육면체 요소를 대각선 평면으로 절단하여 얻은 삼각기둥 요소를 고려해 보자. 그림(b)에서 수평면과 경사면이 이루는 각도는 직각의 반이다. 그러므로 변형 후의 각도 \beta는 \cfrac{\pi}{2} - \gamma_m의 절반이 된다.
\beta = \cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\gamma_m}{2}
두 각의 차이에 대한 탄젠트 공식을 활용하면,
\tan \beta = \cfrac{\tan \cfrac{\pi}{4} - \tan \cfrac{\gamma_m}{2}}{1 + \tan \cfrac{\pi}{4} \tan \cfrac{\gamma_m}{2}} = \cfrac{1 - \tan \cfrac{\gamma_m}{2}}{1 + \tan \cfrac{\gamma_m}{2}}
\cfrac{\gamma_m}{2}은 매우 작은 각이므로, \tan \beta = \cfrac{1 - \cfrac{\gamma_m}{2}}{1 + \cfrac{\gamma_m}{2}} 이다. 또한, 그림(c)로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.
\tan \beta = \cfrac{1 - \nu \varepsilon_x}{1 + \varepsilon_x}
위의 두 식의 우측 항을 연립하여 \gamma_m에 관하여 풀면, \gamma_m = \cfrac{(1 + \nu)\varepsilon_x}{1 + \displaystyle\frac{(1 - \nu)\varepsilon_x}{2}} 이다.
\epsilon_{x} <<1이므로, 분모의 값을 1이라고 할 수 있으며, 따라서 \gamma_m = (1 + \nu) \varepsilon_x으로 표현된다.
훅의 법칙에서 \gamma_m = \cfrac{\tau_m}{G} 와 \varepsilon_x = \cfrac{\sigma_x}{E}을 대입하면 \cfrac{\tau_m}{G} = (1 + \nu)\,\cfrac{\sigma_x}{E} 혹은, \cfrac{E}{G} = (1 + \nu)\,\cfrac{\sigma_x}{\tau_m}로 표현된다.
\sigma_x = \cfrac{P}{A} 이고 \tau_m = \cfrac{P}{2A} (P는 축하중, A는 축단면적)이므로 식은
\cfrac{E}{2G} = (1 + \nu)
