[기출문제] 숙명여자대학교 미분적분학 2023-2 중간 기출문제 (정답 포함)

23-2_ 중간_미분적분학 1_이정희 _003

1. (a) Calculate Lim x → 2/π ln(sin x) by using the continuity.

   (b) Explain why the value of Lim x → 2 sin⁻¹ (x² + 1) does not exist.

2. Find the linearization of f(x) = tan 44°.

3. Differentiate
   y = x^x + e^{sin⁻¹ x} − √(cosh⁻¹ x).

4. (a) Prove that Lim x → −2 (−x² + 3) = −1.
   (b) Lim x → ∞ (x² − 1) = ∞.

5. Show that the equation e^x = 2 − x has at least one real root.

6. Prove that
   d/dx (csch⁻¹ x) = − 1 / (|x| √(1 + x²)).

1.

(a) (\ln(\sin \frac{2}{\pi}))
(b) 극한은 존재하지 않는다.

2.

(\tan 44^\circ)

3.

[
x^x(\ln x+1)

* \frac{e^{\sin^{-1}x}}{\sqrt{1-x^2}}

- \frac{1}{2\sqrt{\cosh^{-1}x}\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}
  ]

4.

함수
[
f(x) = -x^2 + 3
]
은 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다.
연속함수의 극한은 함수값과 같으므로,
[
\lim_{x\to -2}(-x^2+3)=f(-2)= -(-2)^2+3=-4+3=-1
]
따라서
[
\lim_{x\to -2}(-x^2+3)=-1
]
이다.

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## 5번 증명 (중간값 정리)

함수
[
f(x)=e^x-(2-x)
]
를 정의하면, (f(x))는 연속함수이다.

[
f(0)=1-2=-1<0
]
[
f(1)=e-1>0
]

연속함수 (f(x))가 구간 ([0,1])에서 부호가 변하므로,
중간값 정리에 의해
[
f(c)=0 \quad (0<c<1)
]
을 만족하는 실수 (c)가 존재한다.

따라서 방정식
[
e^x=2-x
]
는 **적어도 하나의 실근을 가진다.**

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6.

[
y=\csch^{-1}x
]

정의에 의해
[
\csch^{-1}x=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)
]

이를 미분하면,
[
\frac{dy}{dx}
= \frac{1}{\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
\left(
-\frac{1}{x^2}

* \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{-1/2}
  \cdot \frac{-2}{x^3}
  \right)
  ]

정리하면
[
\frac{dy}{dx}
= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}
]

따라서
[
\frac{d}{dx}(\csch^{-1}x)
= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}
]
임이 증명된다.